Gleitende Mittlere Darstellung Von Ar (1)

2.1 Verschieben von Durchschnittsmodellen (MA-Modelle) Zeitreihenmodelle, die als ARIMA-Modelle bekannt sind, können autoregressive Begriffe und / oder gleitende Durchschnittsterme enthalten. In Woche 1 erlernten wir einen autoregressiven Term in einem Zeitreihenmodell für die Variable x t ist ein verzögerter Wert von x t. Beispielsweise ist ein autoregressiver Term der Verzögerung 1 x t-1 (multipliziert mit einem Koeffizienten). Diese Lektion definiert gleitende Durchschnittsterme. Ein gleitender Durchschnittsterm in einem Zeitreihenmodell ist ein vergangener Fehler (multipliziert mit einem Koeffizienten). Es sei n (0, sigma2w) überschritten, was bedeutet, daß die wt identisch unabhängig voneinander verteilt sind, jeweils mit einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der gleichen Varianz. Das durch MA (1) bezeichnete gleitende Durchschnittsmodell der 1. Ordnung ist (xt mu wt theta1w) Das durch MA (2) bezeichnete gleitende Durchschnittsmodell der zweiten Ordnung ist (xt mu wt theta1w theta2w) Das gleitende Mittelmodell der q-ten Ordnung , Mit MA (q) bezeichnet, ist (xt mu wt theta1w theta2w dots thetaqw) Hinweis. Viele Lehrbücher und Softwareprogramme definieren das Modell mit negativen Vorzeichen vor den Begriffen. Dies ändert nicht die allgemeinen theoretischen Eigenschaften des Modells, obwohl es die algebraischen Zeichen der geschätzten Koeffizientenwerte und (nicht quadrierten) Ausdrücke in Formeln für ACFs und Abweichungen umwandelt. Sie müssen Ihre Software überprüfen, um zu überprüfen, ob negative oder positive Vorzeichen verwendet worden sind, um das geschätzte Modell korrekt zu schreiben. R verwendet positive Vorzeichen in seinem zugrunde liegenden Modell, wie wir hier tun. Theoretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA (1) Modell Beachten Sie, dass der einzige Wert ungleich Null im theoretischen ACF für Verzögerung 1 ist. Alle anderen Autokorrelationen sind 0. Somit ist ein Proben-ACF mit einer signifikanten Autokorrelation nur bei Verzögerung 1 ein Indikator für ein mögliches MA (1) - Modell. Für interessierte Studierende, Beweise dieser Eigenschaften sind ein Anhang zu diesem Handout. Beispiel 1 Angenommen, dass ein MA (1) - Modell x t 10 w t .7 w t-1 ist. Wobei (wt overset N (0,1)). Somit ist der Koeffizient 1 0,7. Die theoretische ACF wird durch eine Plot dieser ACF folgt folgt. Die graphische Darstellung ist die theoretische ACF für eine MA (1) mit 1 0,7. In der Praxis liefert eine Probe gewöhnlich ein solches klares Muster. Unter Verwendung von R simulierten wir n 100 Abtastwerte unter Verwendung des Modells x t 10 w t .7 w t-1, wobei w t iid N (0,1) war. Für diese Simulation folgt ein Zeitreihen-Diagramm der Probendaten. Wir können nicht viel von dieser Handlung erzählen. Die Proben-ACF für die simulierten Daten folgt. Wir sehen eine Spitze bei Verzögerung 1, gefolgt von im Allgemeinen nicht signifikanten Werten für Verzögerungen nach 1. Es ist zu beachten, dass das Beispiel-ACF nicht mit dem theoretischen Muster des zugrunde liegenden MA (1) übereinstimmt, was bedeutet, dass alle Autokorrelationen für Verzögerungen nach 1 0 sein werden Eine andere Probe hätte eine geringfügig unterschiedliche Probe ACF wie unten gezeigt, hätte aber wahrscheinlich die gleichen breiten Merkmale. Theroretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA (2) - Modell Für das MA (2) - Modell sind die theoretischen Eigenschaften die folgenden: Die einzigen Werte ungleich Null im theoretischen ACF sind für die Lags 1 und 2. Autokorrelationen für höhere Lags sind 0 , So zeigt ein Beispiel-ACF mit signifikanten Autokorrelationen bei Lags 1 und 2, aber nicht signifikante Autokorrelationen für höhere Lags ein mögliches MA (2) - Modell. Iid N (0,1). Die Koeffizienten betragen 1 0,5 und 2 0,3. Da es sich hierbei um ein MA (2) handelt, wird der theoretische ACF nur bei den Verzögerungen 1 und 2 Werte ungleich Null aufweisen. Werte der beiden Nicht-Autokorrelationen sind A-Plots des theoretischen ACFs. Wie fast immer der Fall ist, verhalten sich Musterdaten nicht ganz so perfekt wie die Theorie. Wir simulierten n 150 Beispielwerte für das Modell x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Wobei wt iid N (0,1) ist. Die Zeitreihenfolge der Daten folgt. Wie beim Zeitreihenplot für die MA (1) Beispieldaten können Sie nicht viel davon erzählen. Die Proben-ACF für die simulierten Daten folgt. Das Muster ist typisch für Situationen, in denen ein MA (2) - Modell nützlich sein kann. Es gibt zwei statistisch signifikante Spikes bei Lags 1 und 2, gefolgt von nicht signifikanten Werten für andere Lags. Beachten Sie, dass aufgrund des Stichprobenfehlers das Muster ACF nicht genau dem theoretischen Muster entsprach. ACF für allgemeine MA (q) - Modelle Eine Eigenschaft von MA (q) - Modellen besteht im Allgemeinen darin, dass Autokorrelationen ungleich Null für die ersten q-Verzögerungen und Autokorrelationen 0 für alle Verzögerungen gt q existieren. Nicht-Eindeutigkeit der Verbindung zwischen Werten von 1 und (rho1) in MA (1) Modell. Im MA (1) - Modell für einen Wert von 1. Die reziproke 1/1 gibt den gleichen Wert für Als Beispiel, verwenden Sie 0.5 für 1. Und dann 1 / (0,5) 2 für 1 verwenden. Youll erhalten (rho1) 0,4 in beiden Fällen. Um eine theoretische Einschränkung als Invertibilität zu befriedigen. Wir beschränken MA (1) - Modelle auf Werte mit einem Absolutwert von weniger als 1. In dem gerade angegebenen Beispiel ist 1 0,5 ein zulässiger Parameterwert, während 1 1 / 0,5 2 nicht. Invertibilität von MA-Modellen Ein MA-Modell soll invertierbar sein, wenn es algebraisch äquivalent zu einem konvergierenden unendlichen Ordnungs-AR-Modell ist. Durch Konvergenz meinen wir, dass die AR-Koeffizienten auf 0 sinken, wenn wir in der Zeit zurückgehen. Invertibilität ist eine Einschränkung, die in Zeitreihensoftware programmiert ist, die verwendet wird, um die Koeffizienten von Modellen mit MA-Begriffen abzuschätzen. Sein nicht etwas, das wir in der Datenanalyse überprüfen. Zusätzliche Informationen über die Invertibilitätsbeschränkung für MA (1) - Modelle finden Sie im Anhang. Fortgeschrittene Theorie Anmerkung. Für ein MA (q) - Modell mit einem angegebenen ACF gibt es nur ein invertierbares Modell. Die notwendige Bedingung für die Invertierbarkeit ist, daß die Koeffizienten solche Werte haben, daß die Gleichung 1- 1 y-. - q y q 0 hat Lösungen für y, die außerhalb des Einheitskreises liegen. R-Code für die Beispiele In Beispiel 1 wurde der theoretische ACF des Modells x t 10 w t aufgetragen. 7w t-1. Und dann n 150 Werte aus diesem Modell simuliert und die Abtastzeitreihen und die Abtast-ACF für die simulierten Daten aufgetragen. Die R-Befehle, die verwendet wurden, um den theoretischen ACF aufzuzeichnen, waren: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 Verzögerungen von ACF für MA (1) mit theta1 0,7 lags0: 10 erzeugt eine Variable namens lags, die im Bereich von 0 bis 10 liegt (H0) fügt dem Diagramm eine horizontale Achse hinzu Der erste Befehl bestimmt den ACF und speichert ihn in einem Objekt Genannt acfma1 (unsere Wahl des Namens). Der Plotbefehl (der dritte Befehl) verläuft gegen die ACF-Werte für die Verzögerungen 1 bis 10. Der ylab-Parameter kennzeichnet die y-Achse und der Hauptparameter einen Titel auf dem Plot. Um die Zahlenwerte der ACF zu sehen, benutzen Sie einfach den Befehl acfma1. Die Simulation und Diagramme wurden mit den folgenden Befehlen durchgeführt. (N150, list (mac (0.7))) Simuliert n 150 Werte aus MA (1) xxc10 addiert 10 zum Mittelwert 10. Simulationsvorgaben bedeuten 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF für simulierte Probendaten) In Beispiel 2 wurde der theoretische ACF des Modells xt 10 wt. 5 w t-1 .3 w t-2 aufgetragen. Und dann n 150 Werte aus diesem Modell simuliert und die Abtastzeitreihen und die Abtast-ACF für die simulierten Daten aufgetragen. Die verwendeten R-Befehle waren acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 Plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typh, main ACF für MA (2) mit theta1 0,5, (X, x) (x, x) (x, x, x, y) (1) Für interessierte Studierende sind hier Beweise für die theoretischen Eigenschaften des MA (1) - Modells. Variante: (Text (xt) Text (mu wt theta1 w) 0 Text (wt) Text (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Wenn h 1 der vorhergehende Ausdruck 1 w 2. Für irgendeinen h 2 ist der vorhergehende Ausdruck 0 Der Grund dafür ist, dass, durch Definition der Unabhängigkeit der wt. E (w k w j) 0 für beliebige k j. Da w w die Mittelwerte 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2 haben. Für eine Zeitreihe, Wenden Sie dieses Ergebnis an, um den oben angegebenen ACF zu erhalten. Ein invertierbares MA-Modell ist eines, das als unendliches Ordnungs-AR-Modell geschrieben werden kann, das konvergiert, so daß die AR-Koeffizienten gegen 0 konvergieren, wenn wir unendlich zurück in der Zeit bewegen. Gut zeigen Invertibilität für die MA (1) - Modell. Dann setzen wir die Beziehung (2) für wt-1 in Gleichung (1) (3) ein (zt wt theta1 (z-therma1w) wt theta1z - theta2w) Zum Zeitpunkt t-2. Gleichung (2) wird dann in Gleichung (3) die Gleichung (4) für wt-2 ersetzen (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Unendlich), erhalten wir das unendliche Ordnungsmodell (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z Punkte) Beachten Sie jedoch, dass bei 1 1 die Koeffizienten, die die Verzögerungen von z vervielfachen (unendlich) in der Größe zunehmen, Zeit. Um dies zu verhindern, benötigen wir 1 lt1. Dies ist die Bedingung für ein invertierbares MA (1) - Modell. Unendlich Ordnung MA Modell In Woche 3, gut sehen, dass ein AR (1) Modell in ein unendliches order MA Modell umgewandelt werden kann: (xt - mu wt phi1w phi21w Punkte phik1 w Punkte sum phij1w) Diese Summation der Vergangenheit weißer Rauschbegriffe ist bekannt Als die kausale Darstellung eines AR (1). Mit anderen Worten, x t ist eine spezielle Art von MA mit einer unendlichen Anzahl von Begriffen, die in der Zeit zurückgehen. Dies wird als unendliche Ordnung MA oder MA () bezeichnet. Eine endliche Ordnung MA ist eine unendliche Ordnung AR und jede endliche Ordnung AR ist eine unendliche Ordnung MA. Rückruf in Woche 1, stellten wir fest, dass eine Anforderung für eine stationäre AR (1) ist, dass 1 lt1. Berechnen Sie die Var (x t) mit der kausalen Darstellung. Dieser letzte Schritt verwendet eine Grundtatsache über geometrische Reihen, die (phi1lt1) erforderlich sind, ansonsten divergiert die Reihe. Navigation1. Motivierendes Beispiel Wenn Sie die aktuelle Inflationsrate des Quartals8217s zurückrechnen, ergibt sich für die vorherige Quartalsperiode mit den Daten von FRED im Zeitraum von Q3-1987 bis Q4-2014, dass Sie die AR (1) Punktschätzung erhalten, Serie Phänomene umfassen mehrere Variablen. Zum Beispiel, Brunnermeier und Julliard (2008) zeigen, dass der Hauspreis schätzen Rate, ist umgekehrt im Zusammenhang mit der Inflationsrate. Wenn Sie die aktuellen Inflationsraten des Quartals8217 und die Hauspreis-Aufwertungsraten auf die vorherigen Quartalsquartalszinsen unter Verwendung von demeanierten Daten aus dem Case-Shiller / S038P-Index zurückführen. Dann erhalten Sie: Die Berechnung der Impulsantwortfunktion für diese Vektor-Auto-Regression (VAR) ist schwieriger als die Berechnung der gleichen Funktion für die Inflationsrate AR (1), weil die Inflationsrate und die Schätzung der Hauspreisanhebungsrate korreliert sind: 2. Impulsantwort-Funktion Vor dem Studium von VARs definieren let8217s zunächst die Impulsantwortfunktion genauer in der skalaren Welt. Angenommen, wir haben einige Daten, die von einem AR (1) erzeugt werden, und die Impulsantwort-Funktion für den AR (1) - Prozess wird sein: Es gibt eine etwas andere Art und Weise, wie man an eine Impulsantwort-Funktion denken könnte, als die Koeffizienten der Bewegung - eine Vertretung der Zeitreihen. Man betrachte es, den Datenerzeugungsvorgang mit Hilfe von Verzögerungsoperatoren umzuschreiben. Wenn wir alle Stöße auf eine Einheitsabweichung normieren, dann werden die Gewichte selbst durch die Impulsantwortfunktion gegeben: Natürlich ist das genau das, was man für eine Kovarianz-Stationäre erwartet verarbeiten. Die Auswirkungen der vergangenen Schocks auf den gegenwärtigen realisierten Wert sollten besser die Auswirkungen der aktuellen Schocks auf die zukünftigen Werte. 3. Von ARs zu VARs We8217ve gerade gesehen, wie die Impulsantwort-Funktion für einen AR (1) Prozess zu berechnen. Let8217s untersuchen nun, wie man diese Einstellung, bei der es zwei Zeitreihen gibt, erweitern, aber es ist viel weniger klar in dieser vektorwertigen Einstellung, wie wir die Impulsantwortfunktion aus der gleitenden Durchschnittsdarstellung wiederherstellen. Anders ausgedrückt, what8217s die Matrixanalyse von Lektion 2: MA-Modelle, partielle Autokorrelation, Notationskonventionen Lesen Sie sich die nachfolgenden Lektion 2-Online-Hinweise durch. (Anmerkung: Es gibt keine Lesezuweisung aus dem Text in dieser Woche.) Komplette Lektion 2 Zuweisung. Diese Woche sehen Sie sich eine Vielzahl von Themen in Vorbereitung für die volle Skala Blick auf ARIMA Zeitreihen-Modelle, die gut tun, in den nächsten Wochen. Themen dieser Woche sind MA-Modelle, partielle Autokorrelation und Notationskonventionen. Nach erfolgreichem Abschluss dieser Lektion sollten Sie in der Lage sein, ein MA (q) - Modell zu identifizieren und zu interpretieren. MA-Begriffe aus einem ACF unterscheiden Interpretieren einer PACF Unterscheiden Sie AR-Begriffe und MA-Begriffe aus dem gleichzeitigen Erkunden eines ACF und PACF Erkennen und Schreiben von AR, Und ARMA-Polynome 2.1 Verschieben von Durchschnittsmodellen (MA-Modelle) Zeitreihenmodelle, die als ARIMA-Modelle bekannt sind, können autoregressive Begriffe und / oder gleitende Durchschnittsterme enthalten. In Woche 1 erlernten wir einen autoregressiven Term in einem Zeitreihenmodell für die Variable x t ist ein verzögerter Wert von x t. Beispielsweise ist ein autoregressiver Term der Verzögerung 1 x t-1 (multipliziert mit einem Koeffizienten). Diese Lektion definiert gleitende Durchschnittsterme. Ein gleitender Durchschnittsterm in einem Zeitreihenmodell ist ein vergangener Fehler (multipliziert mit einem Koeffizienten). Es sei n (0, sigma2w) überschritten, was bedeutet, daß die wt identisch unabhängig voneinander verteilt sind, jeweils mit einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der gleichen Varianz. Das durch MA (1) bezeichnete gleitende Durchschnittsmodell der 1. Ordnung ist (xt mu wt theta1w) Das durch MA (2) bezeichnete gleitende Durchschnittsmodell der zweiten Ordnung ist (xt mu wt theta1w theta2w) Das gleitende Mittelmodell der q-ten Ordnung , Mit MA (q) bezeichnet, ist (xt mu wt theta1w theta2w dots thetaqw) Hinweis. Viele Lehrbücher und Softwareprogramme definieren das Modell mit negativen Vorzeichen vor den Begriffen. Dies ändert nicht die allgemeinen theoretischen Eigenschaften des Modells, obwohl es die algebraischen Zeichen der geschätzten Koeffizientenwerte und (nicht quadrierten) Ausdrücke in Formeln für ACFs und Abweichungen umwandelt. Sie müssen Ihre Software überprüfen, um zu überprüfen, ob negative oder positive Vorzeichen verwendet worden sind, um das geschätzte Modell korrekt zu schreiben. R verwendet positive Vorzeichen in seinem zugrunde liegenden Modell, wie wir hier tun. Theoretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA (1) Modell Beachten Sie, dass der einzige Wert ungleich Null im theoretischen ACF für Verzögerung 1 ist. Alle anderen Autokorrelationen sind 0. Somit ist ein Proben-ACF mit einer signifikanten Autokorrelation nur bei Verzögerung 1 ein Indikator für ein mögliches MA (1) - Modell. Für interessierte Studierende, Beweise dieser Eigenschaften sind ein Anhang zu diesem Handout. Beispiel 1 Angenommen, dass ein MA (1) - Modell x t 10 w t .7 w t-1 ist. Wobei (wt overset N (0,1)). Somit ist der Koeffizient 1 0,7. Die theoretische ACF wird durch eine Plot dieser ACF folgt folgt. Die graphische Darstellung ist die theoretische ACF für eine MA (1) mit 1 0,7. In der Praxis liefert eine Probe gewöhnlich ein solches klares Muster. Unter Verwendung von R simulierten wir n 100 Abtastwerte unter Verwendung des Modells x t 10 w t .7 w t-1, wobei w t iid N (0,1) war. Für diese Simulation folgt ein Zeitreihen-Diagramm der Probendaten. Wir können nicht viel von dieser Handlung erzählen. Die Proben-ACF für die simulierten Daten folgt. Wir sehen eine Spitze bei Verzögerung 1, gefolgt von im Allgemeinen nicht signifikanten Werten für Verzögerungen nach 1. Es ist zu beachten, dass das Beispiel-ACF nicht mit dem theoretischen Muster des zugrunde liegenden MA (1) übereinstimmt, was bedeutet, dass alle Autokorrelationen für Verzögerungen nach 1 0 sein werden Eine andere Probe hätte eine geringfügig unterschiedliche Probe ACF wie unten gezeigt, hätte aber wahrscheinlich die gleichen breiten Merkmale. Theroretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA (2) - Modell Für das MA (2) - Modell sind die theoretischen Eigenschaften die folgenden: Die einzigen Werte ungleich Null im theoretischen ACF sind für die Lags 1 und 2. Autokorrelationen für höhere Lags sind 0 , So zeigt ein Beispiel-ACF mit signifikanten Autokorrelationen bei Lags 1 und 2, aber nicht signifikante Autokorrelationen für höhere Lags ein mögliches MA (2) - Modell. Iid N (0,1). Die Koeffizienten betragen 1 0,5 und 2 0,3. Da es sich hierbei um ein MA (2) handelt, wird der theoretische ACF nur bei den Verzögerungen 1 und 2 Werte ungleich Null aufweisen. Werte der beiden Nicht-Autokorrelationen sind A-Plots des theoretischen ACFs. Wie fast immer der Fall ist, verhalten sich Musterdaten nicht ganz so perfekt wie die Theorie. Wir simulierten n 150 Beispielwerte für das Modell x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Wobei wt iid N (0,1) ist. Die Zeitreihenfolge der Daten folgt. Wie beim Zeitreihenplot für die MA (1) Beispieldaten können Sie nicht viel davon erzählen. Die Proben-ACF für die simulierten Daten folgt. Das Muster ist typisch für Situationen, in denen ein MA (2) - Modell nützlich sein kann. Es gibt zwei statistisch signifikante Spikes bei Lags 1 und 2, gefolgt von nicht signifikanten Werten für andere Lags. Beachten Sie, dass aufgrund des Stichprobenfehlers das Muster ACF nicht genau dem theoretischen Muster entsprach. ACF für allgemeine MA (q) - Modelle Eine Eigenschaft von MA (q) - Modellen besteht im Allgemeinen darin, dass Autokorrelationen ungleich Null für die ersten q-Verzögerungen und Autokorrelationen 0 für alle Verzögerungen gt q existieren. Nicht-Eindeutigkeit der Verbindung zwischen Werten von 1 und (rho1) in MA (1) Modell. Im MA (1) - Modell für einen Wert von 1. Die reziproke 1/1 gibt den gleichen Wert für Als Beispiel, verwenden Sie 0.5 für 1. Und dann 1 / (0,5) 2 für 1 verwenden. Youll erhalten (rho1) 0,4 in beiden Fällen. Um eine theoretische Einschränkung als Invertibilität zu befriedigen. Wir beschränken MA (1) - Modelle auf Werte mit einem Absolutwert von weniger als 1. In dem gerade angegebenen Beispiel ist 1 0,5 ein zulässiger Parameterwert, während 1 1 / 0,5 2 nicht. Invertibilität von MA-Modellen Ein MA-Modell soll invertierbar sein, wenn es algebraisch äquivalent zu einem konvergierenden unendlichen Ordnungs-AR-Modell ist. Durch Konvergenz meinen wir, dass die AR-Koeffizienten auf 0 sinken, wenn wir in der Zeit zurückgehen. Invertibilität ist eine Einschränkung, die in Zeitreihensoftware programmiert ist, die verwendet wird, um die Koeffizienten von Modellen mit MA-Bedingungen abzuschätzen. Sein nicht etwas, das wir in der Datenanalyse überprüfen. Zusätzliche Informationen über die Invertibilitätsbeschränkung für MA (1) - Modelle finden Sie im Anhang. Fortgeschrittene Theorie Anmerkung. Für ein MA (q) - Modell mit einem angegebenen ACF gibt es nur ein invertierbares Modell. Die notwendige Bedingung für die Invertierbarkeit ist, daß die Koeffizienten solche Werte haben, daß die Gleichung 1- 1 y-. - q y q 0 hat Lösungen für y, die außerhalb des Einheitskreises liegen. R-Code für die Beispiele In Beispiel 1 wurde der theoretische ACF des Modells x t 10 w t aufgetragen. 7w t-1. Und dann n 150 Werte aus diesem Modell simuliert und die Abtastzeitreihen und die Abtast-ACF für die simulierten Daten aufgetragen. Die R-Befehle, die verwendet wurden, um den theoretischen ACF aufzuzeichnen, waren: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 Verzögerungen von ACF für MA (1) mit theta1 0,7 lags0: 10 erzeugt eine Variable namens lags, die im Bereich von 0 bis 10 liegt (H0) fügt dem Diagramm eine horizontale Achse hinzu Der erste Befehl bestimmt den ACF und speichert ihn in einem Objekt Genannt acfma1 (unsere Wahl des Namens). Der Plotbefehl (der dritte Befehl) verläuft gegen die ACF-Werte für die Verzögerungen 1 bis 10. Der ylab-Parameter bezeichnet die y-Achse und der Hauptparameter einen Titel auf dem Plot. Um die Zahlenwerte der ACF zu sehen, benutzen Sie einfach den Befehl acfma1. Die Simulation und Diagramme wurden mit den folgenden Befehlen durchgeführt. (N150, list (mac (0.7))) Simuliert n 150 Werte aus MA (1) xxc10 addiert 10 zum Mittelwert 10. Simulationsvorgaben bedeuten 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF für simulierte Probendaten) In Beispiel 2 wurde der theoretische ACF des Modells xt 10 wt. 5 w t-1 .3 w t-2 aufgetragen. Und dann n 150 Werte aus diesem Modell simuliert und die Abtastzeitreihen und die Abtast-ACF für die simulierten Daten aufgetragen. Die verwendeten R-Befehle waren acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 Plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typh, main ACF für MA (2) mit theta1 0,5, (X, x) (x, x) (x, x, x, y) (1) Für interessierte Studierende sind hier Beweise für die theoretischen Eigenschaften des MA (1) - Modells. Variante: (Text (xt) Text (mu wt theta1 w) 0 Text (wt) Text (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Wenn h 1 der vorhergehende Ausdruck 1 w 2. Für irgendeinen h 2 ist der vorhergehende Ausdruck 0 Der Grund dafür ist, dass, durch Definition der Unabhängigkeit der wt. E (w k w j) 0 für beliebige k j. Da w w die Mittelwerte 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2 haben. Für eine Zeitreihe, Wenden Sie dieses Ergebnis an, um den oben angegebenen ACF zu erhalten. Ein invertierbares MA-Modell ist eines, das als unendliches Ordnungs-AR-Modell geschrieben werden kann, das konvergiert, so daß die AR-Koeffizienten gegen 0 konvergieren, wenn wir unendlich zurück in der Zeit bewegen. Gut zeigen Invertibilität für die MA (1) - Modell. Dann setzen wir die Beziehung (2) für wt-1 in Gleichung (1) (3) ein (zt wt theta1 (z-therma1w) wt theta1z - theta2w) Zum Zeitpunkt t-2. Gleichung (2) wird dann in Gleichung (3) die Gleichung (4) für wt-2 ersetzen (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Unendlich), erhalten wir das unendliche Ordnungsmodell (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z Punkte) Beachten Sie jedoch, dass bei 1 1 die Koeffizienten, die die Verzögerungen von z vervielfachen (unendlich) in der Größe zunehmen, Zeit. Um dies zu verhindern, benötigen wir 1 lt1. Dies ist die Bedingung für ein invertierbares MA (1) - Modell. Unendlich Ordnung MA Modell In Woche 3, gut sehen, dass ein AR (1) Modell in ein unendliches order MA Modell umgewandelt werden kann: (xt - mu wt phi1w phi21w Punkte phik1 w Punkte sum phij1w) Diese Summation der Vergangenheit weißer Rauschbegriffe ist bekannt Als die kausale Darstellung eines AR (1). Mit anderen Worten, x t ist eine spezielle Art von MA mit einer unendlichen Anzahl von Begriffen, die in der Zeit zurückgehen. Dies wird als unendliche Ordnung MA oder MA () bezeichnet. Eine endliche Ordnung MA ist eine unendliche Ordnung AR und jede endliche Ordnung AR ist eine unendliche Ordnung MA. Rückruf in Woche 1, stellten wir fest, dass eine Anforderung für eine stationäre AR (1) ist, dass 1 lt1. Berechnen Sie die Var (x t) mit der kausalen Darstellung. Dieser letzte Schritt verwendet eine Grundtatsache über geometrische Reihen, die (phi1lt1) erforderlich sind, ansonsten divergiert die Reihe. 2.2 Partielle Autokorrelationsfunktion (PACF) Im allgemeinen ist eine partielle Korrelation eine bedingte Korrelation. Es ist die Korrelation zwischen zwei Variablen unter der Annahme, dass wir wissen und berücksichtigen die Werte von einigen anderen Satz von Variablen. Betrachten wir z. B. einen Regressionskontext, in dem die y-Antwortvariable und x & sub1; X 2. Und x 3 sind Prädiktorvariablen. Die partielle Korrelation zwischen y und x 3 ist die Korrelation zwischen den Variablen, die unter Berücksichtigung der Beziehung von y und x 3 zu x 1 und x 2 bestimmt wird. In der Regression konnte diese partielle Korrelation durch Korrelation der Residuen aus zwei verschiedenen Regressionen gefunden werden: (1) Regression, in der wir von x 1 und x 2 vorhersagen. (2) Regression, in der wir x 3 von x 1 und x 2 voraussagen. Grundsätzlich korrelieren wir die Teile von y und x 3, die nicht durch x 1 und x 2 vorhergesagt werden. Formell können wir die soeben beschriebene partielle Korrelation definieren. Beachten Sie, dass auch die Parameter eines Regressionsmodells interpretiert werden. Denken Sie an den Unterschied zwischen der Interpretation der Regressionsmodelle: (y beta1x2 text y beta0beta1xbeta2x2) Im ersten Modell kann 1 als lineare Abhängigkeit zwischen x 2 und y interpretiert werden. Im zweiten Modell wird 2 als die lineare Abhängigkeit zwischen x 2 und y WITH interpretiert, wobei die Abhängigkeit zwischen x und y bereits berücksichtigt wurde. Für eine Zeitreihe wird die partielle Autokorrelation zwischen x t und x t-h als die bedingte Korrelation zwischen x t und x t-h definiert. Bedingt von x t-h1. X t-1. Die Menge der Beobachtungen, die zwischen den Zeitpunkten t und th kommen. Die partielle Autokorrelation erster Ordnung wird so definiert, dass sie der Autokorrelation der 1. Ordnung entspricht. Die partielle Autokorrelation 2. Ordnung (Verzögerung) ist die Korrelation zwischen Werten, die zwei Zeitperioden voneinander abhängig sind, abhängig von der Kenntnis des dazwischen liegenden Werts. (By the way, werden die beiden Varianzen im Nenner einander in einer stationären Reihe gleich.) Die partielle Autokorrelation 3. Ordnung (Verzögerung) ist und so weiter, für jede Verzögerung. Typischerweise werden Matrixmanipulationen, die mit der Kovarianzmatrix einer multivariaten Verteilung zu tun haben, verwendet, um Abschätzungen der partiellen Autokorrelationen zu bestimmen. Einige nützliche Fakten über PACF - und ACF-Muster Die Identifikation eines AR-Modells wird am besten mit der PACF durchgeführt. Bei einem AR-Modell schaltet sich die theoretische PACF vorbei an der Reihenfolge des Modells ab. Der Satz schließt aus, dass in der Theorie die partiellen Autokorrelationen gleich 0 über diesen Punkt hinaus sind. Anders ausgedrückt gibt die Anzahl der partiellen Autokorrelationen ungleich Null die Ordnung des AR-Modells an. Nach der Ordnung des Modells meinen wir die extremste Verzögerung von x, die als Prädiktor verwendet wird. Beispiel. In Lektion 1.2 haben wir ein AR (1) - Modell für eine Zeitreihe der jährlichen Zahl der weltweiten Erdbeben mit einer seismischen Größe größer als 7.0 identifiziert. Im folgenden ist die Beispiel-PACF für diese Serie. Es ist zu beachten, dass der erste Verzögerungswert statistisch signifikant ist, während partielle Autokorrelationen für alle anderen Verzögerungen nicht statistisch signifikant sind. Dies schlägt ein mögliches AR (1) - Modell für diese Daten vor. Die Identifikation eines MA-Modells wird am besten mit dem ACF statt mit der PACF durchgeführt. Bei einem MA-Modell schaltet sich die theoretische PACF nicht ab, sondern verläuft in gewisser Weise zu 0. Ein klareres Muster für ein MA-Modell ist im ACF. Der ACF wird Autocorrelationen von null Null aufweisen, die nur bei in dem Modell involvierten Verzögerungen auftreten. Lektion 2.1 enthielt die folgende Beispiel-ACF für eine simulierte MA (1) - Reihe. Beachten Sie, dass die erste Verzögerung Autokorrelation statistisch signifikant ist, während alle nachfolgenden Autokorrelationen nicht. Dies schlägt ein mögliches MA (1) - Modell für die Daten vor. Theoretischer Hinweis. Das für die Simulation verwendete Modell war x t 10 w t 0,7 w t-1. In der Theorie war die erste Verzögerung Autokorrelation 1 / (1 1 2) .7 / (1.7 2) .4698 und Autokorrelationen für alle anderen Verzögerungen 0. Das zugrundeliegende Modell für die MA (1) - Simulation in Lektion 2.1 war xt 10 wt 0,7 Wt-1. Es folgt die theoretische PACF (partielle Autokorrelation) für dieses Modell. Beachten Sie, dass sich das Muster allmählich auf 0 verjüngt. R Anmerkung: Die gerade dargestellte PACF wurde in R mit diesen beiden Befehlen erstellt: ma1pacf ARMAacf (ma c (.7), lag. max 36, pacfTRUE) plot (ma1pacf, typeh, main Theoretical PACF von MA (1) mit theta 0.7) 2.3 Darstellungskonventionen Zeitreihenmodelle (im Zeitbereich) beinhalten verzögerte Terme und können differenzierte Daten für den Trend berücksichtigen. Es werden nützliche Notationen verwendet. Unter Verwendung von B, bevor entweder ein Wert der Reihe x t oder ein Fehlerterm w t bedeutet, dieses Element einmal zurück zu bewegen. Beispielsweise bedeutet eine Potenz von B, dass die Rückschaltung wiederholt angewendet wird, um eine Anzahl von Zeitperioden zurückzuziehen, die der Leistung entspricht. Als Beispiel repräsentiert (x) x t zwei Einheiten zurück in der Zeit. (Bk xt x) repräsentiert x t k Einheiten in der Zeit zurück. Der Backshift-Operator B arbeitet nicht auf Koeffizienten, da es sich um feste Mengen handelt, die sich nicht in der Zeit bewegen. Zum Beispiel ist B 1 1. AR-Modelle und die AR-Polynom-AR-Modelle können kompakt geschrieben werden, indem ein AR-Polynom mit Koeffizienten und Rückschaltoperatoren verwendet wird. Sei p die maximale Ordnung (Verzögerung) der AR-Terme im Modell. Die allgemeine Form für ein AR-Polynom ist (Phi (B) 1-phi1B-Punkte - Phip Bp). Mit dem AR-Polynom ist ein Weg, ein AR-Modell zu schreiben, iid N (0, w 2). Für ein AR (1) ist die maximale Verzögerung 1 so dass das AR-Polynom ist und das Modell geschrieben werden kann ((1-phi1B) xt delta wt). Um dies zu überprüfen, können wir die linke Seite multiplizieren, um (xt - phi1x delta wt) zu erhalten. Dann schwingen Sie die - 1 x t-1 auf die rechte Seite und erhalten (xt delta phi1x wt). Ein AR (2) - Modell ist (xt delta phi1x phi2x wt). Das heißt, x t ist eine lineare Funktion der Werte von x bei den beiden vorhergehenden Verzögerungen. Das AR-Polynom für ein AR (2) - Modell Das AR (2) - Modell könnte als ((1-phi1B-phi2B2) xt delta wt) oder als (Phi (B) xt delta wt) mit einer zusätzlichen Erklärung geschrieben werden (Phi (B) 1-phi1B-phi2B2). Ein AR (p) - Modell ist (xt delta phi1x phi2x phip x wt), wobei (phi1, phi2.phip) Konstanten sind und größer als 1 sein können. (Erinnern Sie sich, dass (phi1 lt 1) für ein AR (1) .) Hier ist xt eine lineare Funktion der Werte von x bei den vorherigen p-Verzögerungen. Eine Kurzschrift-Notation für das AR-Polynom ist (B) und ein allgemeines AR-Modell kann geschrieben werden als (Phi (B) xt delta wt). Natürlich müssen Sie die Reihenfolge des Modells irgendwo auf der Seite angeben. Ein MA (1) - Modell (xt mu wt theta1 w) könnte als (xt mu (1θ1B) wt) geschrieben werden. Ein Faktor wie (1theta1B) heißt das MA-Polynom und wird als (Theta (B)) bezeichnet. Ein MA (2) - Modell ist definiert als (xt mu wt theta1 w theta2 w) und kann als (xt mu (1theta1Btheta2B2) wt) geschrieben werden. Hier ist das MA-Polynom (Theta (B) (1theta1Btheta2B2)). Im Allgemeinen ist das MA-Polynom (Theta (B) (1theta1Bdots thetaqBq)). Wobei (q) maximale Ordnung (Verzögerung) für MA-Bedingungen in dem Modell. Im allgemeinen können wir ein MA-Modell als (xt - mu Theta (B) wt) schreiben. Modelle mit sowohl AR - als auch MA-Bedingungen Ein Modell, das sowohl AR - als auch MA-Terme beinhaltet, können geschrieben werden (Phi (B) (xt-mu) Theta (B) wt) oder möglicherweise sogar Hinweis: Viele Lehrbücher und Softwareprogramme definieren das MA-Polynom mit Negative Zeichen eher als positive Zeichen wie oben. Dies ändert nicht die Eigenschaften des Modells, oder mit einem Beispiel, die gesamte Passform des Modells. Es ändert nur die algebraischen Zeichen der MA-Koeffizienten. Überprüfen Sie immer, wie Ihre Software das MA-Polynom definiert. Beispielsweise wird das MA (1) - Polynom 1 1 B oder 1 - 1 B verwendet. Oft wird die Nichtstationarität in Form von Trend - und / oder Saisonalität berücksichtigt. Eine alternative Notation für eine Differenz ist (nabla xt (1-B) xt xt-x). Ein Index definiert die Differenz einer Verzögerung, die dem Index entspricht. Zum Beispiel, (nabla xt xt - x). Diese Art von Unterschied wird oft mit monatlichen Daten, die Saisonalität zeigt verwendet. Die Idee ist, dass die Unterschiede zum Vorjahr im Durchschnitt für jeden Monat eines Jahres ungefähr gleich groß sein können. Ein Hochschrieb sagt, die Differenzierung der angegebenen Anzahl zu wiederholen. Als Beispiel ist (nabla2 xt (1-B) 2xt (1-2BB2) xt xt -2x x). In Worten ist dies eine erste Differenz der ersten Differenzen. Dokumentation a ist ein konstanter Vektor von Offsets mit n Elementen. A i sind n - by-n Matrizen für jedes i. Die A i sind autoregressive Matrizen. Es gibt p autoregressive Matrizen. 949 t ist ein Vektor von seriell unkorrelierten Innovationen. Vektoren der Länge n. Die 949 t sind multivariate normale Zufallsvektoren mit einer Kovarianzmatrix Q. Wobei Q eine Identitätsmatrix ist, sofern nichts anderes angegeben ist. B j sind n - by-n Matrizen für jedes j. Die B j sind gleitende Mittelmatrizen. Es gibt q gleitende Mittelmatrizen. Xt ist eine n-by-r-Matrix, die exogene Terme zu jedem Zeitpunkt t darstellt. R die Zahl der exogenen Reihen. Exogene Terme sind Daten (oder andere nicht modellierte Eingaben) zusätzlich zur Reaktionszeitreihe y t. B ist ein konstanter Vektor von Regressionskoeffizienten der Größe r. Also ist das Produkt X t middotb ein Vektor der Größe n. Im allgemeinen sind die Zeitreihen y t und X t zu beobachten. Mit anderen Worten, wenn Sie Daten haben, repräsentiert es eine oder beide dieser Serien. Sie kennen nicht immer den Versatz a. Koeffizient b. Autoregressive Matrizen A i. Und gleitende Mittelmatrizen B j. Normalerweise möchten Sie diese Parameter auf Ihre Daten anpassen. Siehe die Referenzseite der vgxvarx-Funktion zum Schätzen von unbekannten Parametern. Die Innovationen 949 t sind zumindest in den Daten nicht zu beobachten, obwohl sie in Simulationen beobachtbar sind.